1. Un défi qui paraît absurde
Une feuille de papier, une règle simple, une question démesurée.
Une feuille de papier ordinaire mesure environ \(0{,}1\) mm d'épaisseur. On la plie en deux : la pile compte deux couches. On replie la pile en deux : quatre couches. Et ainsi de suite.
Le problème posé. Si l'on pouvait plier la feuille autant de fois que l'on veut, combien de pliages faudrait-il pour que son épaisseur dépasse la distance de la Terre à la Lune, \(384\,400\) km ? Mille ? Un million ? Ce parcours y répond, d'abord à la main sur un cas modeste, puis avec un programme, quand le calcul à la main devient trop long.
On note \(u_n\) l'épaisseur de la pile, en mm, après \(n\) pliages : \(u_0 = 0{,}1\).
2. Les dix premiers pliages
Calculer de proche en proche, comme pour l'exemple 2 du cours.
La relation \(u_{n+1} = 2u_n\) donne chaque terme à partir du précédent : pour connaître \(u_{10}\), il faut passer par \(u_1\), \(u_2\)… jusqu'à \(u_9\). Dévoilez le tableau ligne par ligne, en prévoyant chaque valeur avant de la voir.
| \(n\) | \(u_n\) (en mm) |
|---|---|
| 0 | \(0{,}1\) |
| 1 | \(0{,}2\) |
| 2 | \(0{,}4\) |
| 3 | \(0{,}8\) |
| 4 | \(1{,}6\) |
| 5 | \(3{,}2\) |
| 6 | \(6{,}4\) |
| 7 | \(12{,}8\) |
| 8 | \(25{,}6\) |
| 9 | \(51{,}2\) |
| 10 | \(102{,}4\) |
Après dix pliages, la pile dépasse déjà \(10\) cm : \(2^{10} = 1\,024\) couches de papier.
Aide au calcul : les premières puissances de 2
\(2^3 = 8\), \(2^4 = 16\), \(2^5 = 32\), \(2^6 = 64\). Doubler \(n\) fois, c'est multiplier par \(2^n\).
3. Une suite qui ne fait que monter
Le nuage de points, puis la démonstration du sens de variation.
\(n\) = · épaisseur : mm
Le nuage monte de plus en plus vite. Mais un dessin ne démontre rien : on démontre le sens de variation par le calcul. La suite \(u\) est strictement positive, on peut donc employer la méthode du rapport (voir l'exemple 5) :
\[\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{2u_n}{u_n} = 2 > 1,\]donc \(u_{n+1} > u_n\) pour tout entier naturel \(n\).
Ce que cela garantit
La suite \(u\) est strictement croissante : chaque pliage rend la pile plus épaisse que la précédente. C'est ce qui donnera un sens à la question « à partir de combien de pliages ? ».
4. Un premier seuil : un mètre
Avant la Lune, un cas que l'on peut traiter à la main.
Combien de pliages faut-il pour que la pile dépasse \(1\) m, soit \(1\,000\) mm ? On reprend le tableau là où l'on s'était arrêté, et l'on compare chaque terme au seuil.
| \(n\) | \(u_n\) (en mm) | comparé au seuil |
|---|---|---|
| 10 | \(102{,}4\) | \(\leqslant 1\,000\) |
| 11 | \(204{,}8\) | \(\leqslant 1\,000\) |
| 12 | \(409{,}6\) | \(\leqslant 1\,000\) |
| 13 | \(819{,}2\) | \(\leqslant 1\,000\) |
| 14 | \(1638{,}4\) | \(> 1\,000\) |
Le résultat à retenir pour la suite
\(u_{13} = 819{,}2 \leqslant 1\,000\) et \(u_{14} = 1\,638{,}4 > 1\,000\) : il faut 14 pliages pour dépasser un mètre. Cette valeur servira à vérifier le programme.
5. 2002 : douze pliages dans un centre commercial
Ce que le calcul dit, et ce que le papier permet.
On a longtemps répété qu'une feuille ne se plie pas en deux plus de sept fois. En 2002, Britney Gallivan, lycéenne à Pomona, en Californie, plie en deux douze fois une bande de papier de soie longue de plus d'un kilomètre, en huit heures de travail dans l'allée d'un centre commercial. Douze pliages donnent \(2^{12} = 4\,096\) couches.
Dans la réalité, on ne plie pas plus. Mais la suite, elle, continue : rien n'empêche de calculer \(u_{20}\), \(u_{30}\), \(u_{40}\)… Pour la Lune, il faut comparer les termes à \(384\,400\) km, c'est-à-dire à \(384\,400\,000\,000\) mm, en doublant des dizaines de fois. À la main, c'est long et les erreurs guettent : c'est le travail d'un programme.
L'algorithme, écrit en français
\(u \leftarrow 0{,}1\) et \(n \leftarrow 0\)
Tant que \(u \leqslant\) seuil : \(u \leftarrow 2 \times u\) puis \(n \leftarrow n + 1\)
Afficher \(n\)
« Tant que » répète les deux instructions aussi longtemps que la pile ne dépasse pas le seuil. Quand la boucle s'arrête, \(n\) est le premier rang pour lequel \(u_n\) dépasse le seuil : c'est exactement ce que l'on a fait à la main à l'écran 4.
6. La console Python : vérifier, puis viser plus haut
Le programme est écrit ; vous n'avez qu'à l'exécuter, puis à changer un nombre.
Voici l'algorithme traduit en Python. Ce qui suit un # est un commentaire, ignoré par
Python. Le séparateur décimal est le point : 0.1 pour \(0{,}1\).
Étape 1 — valider l'outil. Exécutez le programme tel quel : il doit afficher
\(14\) pliages, le résultat de l'écran 4. Étape 2 — l'employer. Remplacez
1000 par la hauteur de votre objectif (question ci-dessous), convertie en mm, puis
exécutez de nouveau.
Si la console ne se charge pas — réseau du lycée, tablette capricieuse —, le même programme s'exécute sur https://sciency.co/console.
Aide pour la conversion en mm
\(1\) m \(= 1\,000\) mm et \(1\) km \(= 1\,000\,000\) mm. Pour votre objectif, la ligne à écrire est
seuil = (sans espace entre les chiffres).
7. Ce qu'il faut retenir
Le fil, d'un bout à l'autre.
La démarche
Une situation où chaque étape double la précédente se modélise par une relation de récurrence, \(u_{n+1} = 2u_n\). La méthode du rapport montre que la suite est croissante. Pour trouver à partir de quel rang elle dépasse un seuil, on calcule les termes un à un jusqu'au premier qui dépasse : à la main quand c'est court, avec une boucle « tant que » sinon, après avoir vérifié le programme sur un cas connu.
Et la Lune ? Avec seuil = 384400000000, le programme répond \(42\) pliages : à peine
quarante-deux doublements suffisent pour passer de \(0{,}1\) mm à plus de \(384\,400\) km.
8. Votre parcours
Le bilan des sept questions.
Votre parcours
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